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A LINGUAGEM MATEMÁTICA COMO SÍNTESE DA FORMA E CONTEÚDO DO CONCEITO

Anna Regina Lanner de Moura – UNICAMP - lanner@unicamp.br

Nossas instigações

Este Grupo de Comunicação traz reflexões sobre quatro pesquisas que têm por referência pressupostos teóricos da formação dos conceitos matemáticos discutidos no âmbito da Educação Conceitual. O pressuposto que aqui abordamos é o que discute, segundo Kopnin (1978), no estudo dos conceitos científicos, o problema da linguagem enquanto meio de representação da realidade. Isto é, se abordarmos a linguagem matemática, tomando apenas o aspecto lógico-formal de seus símbolos o conceito não é entendido como uma forma de representação da realidade, como resultado da generalização de experiências da vida diária, mas como um ente que tem vida própria e que, por isso mesmo, não produz no sujeito que o aprende significados dos movimentos de seu contexto. Na busca de abordagens que superem a limitação dessa interpretação do conceito, essas pesquisas estudam como a problematização dos nexos conceituais pode gerar um espaço de (re)criação conceitual onde tenha lugar a dúvida e discussões sobre elaborações conceituais em linguagem natural de modo a ressignificar a linguagem formal do conceito. A definição dos nexos conceituais tem referência na dimensão lógico-histórica do conceito abordada por Kopnin (idem), Davidov (1982) e Lima (1998). As pesquisas, apresentadas neste grupo, estudam a elaboração dos nexos conceituais de número natural, fração e álgebra quando desenvolvidos em atividades de ensino em sala de aula. Em, "O conceito de número natural enquanto linguagem a partir de episódios de sala de aula", as autoras fazem uma análise interpretativa das noções de número manifestadas por jovens e adultos, em processo inicial de escolarização, quando envolvidos em atividades interativas sobre os nexos conceituais do número natural; em "Educação Conceitual e Educação Algébrica nas séries iniciais", as autoras discutem o desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos do Curso de Pedagogia de uma universidade pública de são Paulo; em "Forma e conteúdo na linguagem matemática – um olhar sobre a fração", as autoras estudam as características de forma e conteúdo das elaborações conceituais da fração, sob o aspecto da forma e conteúdo da medida, de alunos de uma quarta série do ensino fundamental da rede municipal de São Paulo; em "A ressignificação da linguagem formal do sistema de numeração decimal", as autoras investigam as características das reflexões de professores em Formação Continuada que se baseou na combinação entre atividade de ensino e dinâmica relacional, enfocando o aspecto criativo da linguagem de sistemas de contagem.

O eixo comum

As pesquisas deste grupo estudam o desenvolvimento conceitual de matemática em sala de aula do ensino fundamental. O objetivo comum consiste em dar movimento ao pensamento, linguagem e afetividade na atividade de ensino dos conceitos matemáticos. Nessas, o conceito é entendido como um dos movimentos do pensamento enquanto reflexo da realidade na atividade humana. Por meio da atividade, o ser humano produz a si mesmo, a realidade que existe em si, em forma de conceito e, é neste movimento que produz o entendimento do mundo e de si mesmo e seu próprio pensamento.
O homem constrói a sua história, construindo seu pensamento, sendo uma das formas de sua manifestação, o conceito. Os conceitos são idéias organizadas dedutivamente segundo as quais o homem cria, dos objetos existentes, novos objetos, o conceito tem existência abstrata, embora tenha sua origem na atividade prática histórico-social dos seres humanos. A atividade humana é a base desta produção, por meio dela, atribuímos significado às coisas, aos movimentos e a nós mesmos. A atividade é aqui entendida como a que concebe Leontiev ( 1988 ), ações movidas por uma necessidade e organizadas, intencionalmente, em vista de um resultado. Este resultado, assim concebido, nunca é um objeto isolado, algo fragmentado de todo o movimento histórico-cultural de produção da vida, mas neste movimento de se constituir, integra e passa a integrar a cultura humana.
As ações que são movidas por funções como alimentar-se, dormir, proteger-se e outras têm como resultado produzir alimentos e abrigo. A produção do resultado é, ao mesmo tempo, produção de conceitos cujos significados são aliados à necessidade de origem e representados por linguagens que comunicam esses significados. Os objetos, conceitos, significados e linguagens, produzidos na atividade, constituem e dão vida à diversidade cultural dos agrupamentos humanos. Quantos conceitos e suas linguagens foram elaborados para, hoje, usufruirmos uma boa refeição e quantos, para termos uma casa aconchegante!
São vários os níveis da atividade humana sobre a realidade, várias são as formas do pensamento e uma delas é o conceito. A que abordamos em nossas pesquisas, é a do conceito científico.
Na escola, tratamos principalmente do conceito científico com o objetivo de desenvolver seu pensamento e linguagem. Em nossa abordagem, o conceito científico é destacado do conceito comum, mas não em oposição a este. Pelo contrário, o tem como base de significados, da mesma forma que para aprender outra língua, a materna serve de suporte de significação. O conceito de senso comum se forma pela generalização das experiências da vida diária com aplicação de recursos e representações que não são, necessariamente, advindas da linguagem científica, o conceito científico universaliza o conteúdo e a representação da atividade própria do conceito, mas ambos nascem do movimento da atividade humana que enquanto produz a realidade significada, produzir pensamento e linguagem, produz cultura.
Nas considerações feitas até aqui, demos ao pensamento a forma de conceito, a seguir destacaremos o aspecto da linguagem na tentativa de fundamentar teoricamente a relação pedagógica que instituímos como eixo de nossas pesquisas: desenvolver pensamento, linguagem e afetividade ao aprender o conceito matemático.
Do conceito científico destacamos dois dos aspectos que lhe são constitutivos: a forma e o conteúdo. Fundamentados em Kopnin (1978), damos à forma o significado de linguagem representativa do conceito e ao conteúdo o do movimento histórico de sua criação. Aqui podemos destacar, também, uma dualidade de geração mútua: as novas necessidades exigem novas formas para o conceito, por sua vez, as novas formas exigem que se dê a ele novos conteúdos. Deste modo, forma e conteúdo, linguagem e conteúdo do conceito não estão em oposição, mas imbricados num mesmo movimento da atividade humana que está na sua origem. O método como arte de criação do conceito é o método de sua aprendizagem. Dessa forma, se justifica uma das questões que discutimos em nossas pesquisas, isto é, as possibilidades da combinação dos dois aspectos, forma e conteúdo do conceito de matemática, na atividade de ensino.
A forma do conceito matemático tem sua expressão nas diferentes representações que lhe são atribuídas para a comunicação de seu conteúdo histórico e que chamamos de linguagens do conceito. O conteúdo histórico do conceito matemático tem, hoje, uma linguagem própria, diferenciada da linguagem natural ou materna. Enquanto esta tem configurações singulares em cada agrupamento humano, territorialmente distintos, a linguagem matemática é universal. A linguagem matemática se forma segundo as regras próprias da lógica formal. Em busca do rigor, ela se estrutura se destituindo da nebulosa contradição da retórica da linguagem natural. É uma linguagem artificial que pretende, pelo seu formalismo, decidir, sem margem a dúvidas, se uma declaração é verdadeira ou falsa, (Chaitin, 2003). Dada essa sua natureza é a linguagem possível de se transferir para máquina, é a linguagem de máquina.
Mas esta linguagem tão enxuta, tão universal que permite declarar verdades objetivas e não sentimentos, vela e não revela, por si só, o conteúdo histórico da matemática. Todo o conceito, também, o matemático tem suas bases na atividade prática do ser humano (Caraça, 2002), mas este último se reveste de uma linguagem artificial que o torna um ente existente, independentemente, da ação, um ente que não requer mais os sentidos e nem a percepção para o entendimento de sua alma, a axiomática.
Pode-se aprender o enredo lógico do conceito matemático sem que se entenda o enredo histórico que lhe deu existência, isto se sua aprendizagem for toda planejada somente sobre os aspectos formais de sua linguagem. Mas, para aquele que se inicia nesta ciência não se pode exigir uma aprendizagem neste nível de formalização e o motivo é profundamente educacional, pois consistiria em criar uma concepção de ciência fragmentada do próprio movimento humano que a criou. Como diz Kopnin (1978), se considerarmos o conceito científico apenas sob os aspectos da linguagem, o destituímos de ser um sistema de representação da realidade.

O caminho enxuto da linguagem numérica

Para nos explicarmos melhor como poderíamos abranger, em sala de aula, a complexidade forma e conteúdo do conceito, trazendo para dentro deste movimento o aprendiz na totalidade de seu pensamento, do sensitivo ao lógico formal, do subjetivo à objetividade formal, do afetivo à máquina, propomos fazer este percurso para o conceito de número. Estaremos vendo o movimento de constituição da linguagem numérica e possíveis formas de abordagens de seu método, no ensino da matemática, para as séries do Ensino Fundamental.
Entende-se que o conceito de número não está nas quantidades da natureza, mas no movimento do pensamento originado pela atividade de controlar a variação dessas quantidades. O conceito de número se constitui no movimento de administração dos movimentos quantitativos da produção da vida.
Por meio da atividade, o ser humano constrói imagens abstratas de suas ações antes mesmo de realizá-las com as mãos. Usar uma quantidade de pedra como representativa de uma quantidade de ovelhas advém da necessidade de administrar o movimento de variação da quantidade de cabeças do rebanho. O pastor planeja e executa a ação do fazer corresponder uma pedra a uma ovelha. Não está nem na pedra e nem na ovelha ser uma correspondência, é a mente humana que faz esta abstração ao combinar esses dois elementos. Esta combinação dá ao monte de pedra resultante um novo significado: o de ser uma quantidade equivalente a de ovelhas. O antigo contador cria um objeto novo: o número pedra.
O significado nasce no campo do outro e se manifesta na comunicação. A combinação de ações implica comunicação e sob a tensão de comunicar ao outro, o conteúdo da ação vai-se estabelecendo como uma linguagem ou como um movimento constante e social de combinação de ações futuras, diz Lima (1992). Se o pastor que conta com pedras o seu rebanho, apresentar a um colega o monte de pedras que mantém guardado, dizendo-lhe que ali está a quantidade de seu rebanho o colega poderá lhe responder que não vê, ali, senão pedras. Na verdade, se não lhe for comunicado o ato de fazer corresponder que deu às pedras o significado de quantidade de ovelhas, ele poderá insistir que continua enxergando somente um monte de pedras.
Lima (1992) considera que o homem, ao produzir, passa a lidar com um outro aspecto da matéria: a quantidade que não é senão um aspecto das qualidade que atribuímos ao objetos ou seja a intensidade. Todas as coisas e seres que nos rodeiam - energia, água, terra, ovelhas, ar, vacas, pessoas, cachorros, cadeiras, calor, distância, etc. - possuem quantidade. Não existe nada sem quantidade. Portanto, sentimos tudo que nos rodeia através de sua quantidade; existindo em todas as coisas, a percebemos, através dos nossos sentidos.
Na pecuária o ser humano é obrigado a administrar o movimento quantitativo dos rebanhos; na agricultura, administra o movimento quantitativo das terras produtivas, do tempo, das sementes, da colheita. Na produção de metais, ele administra o movimento quantitativo do calor, do mineral, das unidades produtivas. Em todas as atividades produtivas, o ser humano precisa administrar múltiplos movimentos quantitativos.
À medida que avança no domínio das quantidades, a humanidade desenvolve a idéia de número e lhe dá uma linguagem, o numeral, que passa a ser o símbolo que a expressa. Dizemos que linguagem numérica é o conjunto de símbolos e idéias que o ser humano vem criando para operar coletivamente os diversos movimentos quantitativos que compõem a natureza humana.
À medida que o homem desenvolve sua produção, desenvolve também a linguagem das palavras. Cada novo instrumento que cria já nasce com um conjunto de linguagens que lhe serão próprias. No mesmo espaço semântico da produção, nascem tanto a linguagem das palavras quanto a linguagem matemática. É a linguagem das palavras o terreno em que nasce a linguagem das quantidades, ou mais especificamente, a linguagem numérica. Assim como a linguagem numérica é determinada pela linguagem das palavras, a aprendizagem daquela, tem como condição, a aprendizagem da linguagem das palavras.
Com a linguagem das palavras, buscamos fazer surgir no pensamento do outro e, ali, significar as imagens, palavras, gestos que queremos comunicar. Como a linguagem matemática tem suas bases formadoras na linguagem das palavras, pode-se dizer que a ação social humana, no desenvolvimento da linguagem numérica, é mediada pela linguagem das palavras.
Nascendo da linguagem das qualidades, diz Lima (1992), a linguagem numérica se desenvolve em oposição a ela: cada salto seu é produto da necessidade da sua diferenciação, e cada salto na diferenciação é ocasionado pelo seu desenvolvimento. Realmente, todo desenvolvimento da matemática acontece como processo de diferenciação destas linguagens: é o esforço humano para se liberar da linguagem das palavras, na lida com movimentos quantitativos da vida, é o movimento da linguagem numérica para se emancipar de sua origem - a palavra.
A matemática é a forma que o pensamento humano encontrou para dar linguagem algorítmica, linguagem de sistema aos aspectos quantitativos da realidade é a forma que lhe possibilita administrá-la objetivamente, é portanto, uma representação desta realidade na qual somos e nos fazemos seres humanos. Mas não está somente na linguagem este poder algorítmico e mas, também, no conteúdo histórico do processo humano que a desenvolveu.
Assim, se abordarmos o conceito matemático, de forma estreita, somente sob o aspecto da linguagem, tomando apenas os símbolos e outros meios que lhe servem de sinal, não se pode afirmar que ela reflete o objeto, mas tomada em conjunto, incluindo o significado dos sinais e suas relações, a linguagem constitui, indiscutivelmente, um meio de representação da realidade.
O conceito matemático expressa seu conteúdo, na atividade humana que lhe deu origem, pela linguagem da lógica formal, linguagem que tem regras próprias, diferenciadas das da linguagem natural. Essa linguagem não revela, por si só, mas vela todo o processo da atividade humana que constituiu o conceito. Este, enquanto resultado da atividade, encerra em si mesmo o movimento automotivador de sua aprendizagem. Como está aprisionado pela linguagem, é preciso que seu conteúdo ganhe movimento na atividade de aprendizagem.
Em Catalani (2002) podemos ver como as crianças, primeiramente, atribuem à fração o conteúdo histórico da medida e é neste movimento que dão significado de relação parte/todo à representação que criam da medida da “sobra” da operação com a unidade de medida. Em suas criações libertam-se do “aprisionamento” do número “inteiro” e atribuem aos objetos que contam a qualidade de serem discretos ou contínuos.
Em Sousa (2004) a variável se liberta do “aprisionamento” do “x” e do “y” e ganha o significado de movimento, da dualidade permanência e fluência. Tudo está em movimento, a variável atribui significado numérico dentro de um campo de variação a esse movimento. Os alunos se libertam do número físico como um administrador, sem sombra a dúvidas, de qualquer movimento quantitativo.
Em Ferreira (2005) e Brito (1999), o número natural é construído pelo fazer corresponder um a um e um a vários, pela criação da idéia de equivalência. O pensamento numérico se liberta de ser uma mera enunciação da seqüência numérica e passa pela discussão da relação do conjunto que conta e o conjunto contado.
Essas mudanças nos levam a afirmar que a aprendizagem do conceito científico não consiste na mera transposição da linguagem natural para a linguagem científica mas implica numa mudança de compreensão da realidade. Se for ensinado apenas do ponto de vista de sua representação não possibilita a quem o aprende vivenciar esta mudança.
As muitas atividades que encontramos em materiais didáticos para desenvolver o conceito de número na criança, sejam do número natural, sejam do racional, centram a construção de significados apenas nos aspectos perceptíveis de suas linguagens, como os infindáveis exercícios de relacionar número à quantidade correspondente de objetos, os de corresponder o número fracionário a partes de figuras geométricas regulares, a partes de pizzas ou de barras de chocolate e outros.
Nesta abordagem, o pensamento numérico fica restrito a uma visão fragmentada das relações dos conjuntos numéricos entre si e os outros conteúdos matemáticos como, a geometria e a medida; e das relações com os movimentos qualitativos e quantitativos da realidade. Pois, não é a forma isolada, isto é a linguagem, mas o conteúdo histórico do conceito que possibilita fazer essas conexões.

A dimensão dialógica do pensar e dar linguagem numérica à realidade

A linguagem é um fato social. Ela nasce num processo dialógico de produção de significados. Um ser humano sozinho não produz linguagem. O professor de matemática que enche a lousa de demonstrações ou, ainda, de correções de listas de exercícios para que o aluno repita, sem erro, tudo o que ele faz, não está produzindo significados matemáticos com o aluno, mas pelo aluno. É freqüente o aluno que acompanha com atenção a demonstração na lousa dizer que enquanto acompanhava, na lousa, pareceria entender tudo, mas assim que esta era apagada, era como se tudo fosse apagado, também, de sua mente.
Se a matemática tem linguagem é preciso que seus significados sejam desenvolvidos pelo aluno, num contexto dialógico. Nesse sentido, assumimos nas pesquisas a dinâmica relacional indivíduo-grupo-classe como fazendo parte do movimento do conceito em sala de aula.
As atividades de ensino dinamizam as ações de aprendizagem de modo que o aluno possa pensar sobre os conceitos, num primeiro momento individualmente; num segundo momento, com colegas de grupo e, num terceiro momento, com o coletivo-classe, onde passa a discutir as sínteses que elaborou com seu grupo de trabalho. É na discussão do coletivo que será elaborada uma definição possível do conceito em estudo.
Esse processo de discussão indivíduo-coletivo refaz a dinâmica da comunicação na criação da linguagem humana. As relações sociais determinam as linguagens e, por isso mesmo, determinam também a linguagem numérica. A linguagem das palavras nasce diretamente no terreno social e é nele que se ancora, também, a linguagem matemática. A dinâmica indivíduo-coletivo estabelece um acordo coletivo para tratar dos significados da relação forma e conteúdo no conceito matemático.
“A influência da linguagem sobre o pensamento constituiu um fato para a ciência moderna que criou um sistema de diversas linguagens artificiais, fato que dispensa demonstração” (Kopnin, 1978: 307). Para o autor, a relação dinâmica entre conteúdo e forma do conceito gera dois aspectos interdependentes, mas distintos deste: o do senso comum e o científico.
Quando a criança diz, nos episódios de sala de aula, discutidos por Moura (1995), que medir é ler na balança ou na régua o número que resulta de pesar um objeto, ou de colocar a régua sobre um comprimento, ela está usando um conceito de senso comum que se forma pelo uso das tecnologias da medição. Esta sua formulação do conceito de medida, não é científica.
Mas, é esta formulação que possibilitará a criança descobrir que medir não é o mesmo que contar dedos, bananas e lápis. Vai descobrir que medir pode ser contar dedos, mas sem “deixar buracos” entre um e outro, que medir é contar passos, mas “passos de passeio que são sempre iguais”. Essas expressões são criadas por crianças em atividades que envolviam medir as distâncias que saltavam, num jogo de “salto em distância”. Elas entendiam que medir era ler um número na balança, numa régua e número, para elas, vem da contagem de coisas, portanto quando lhes era sugerido medir a distância saltada, sua primeira iniciativa era contar passos, palmos ou pés.
No caso de medir a distância, a unidade de contagem não está no espaço a ser contado, como acontece quando se conta dedos, cada dedo sugere uma unidade. É preciso, então, estabelecer uma unidade, o que precisará ser discutido com o grupo que vai realizar as medidas. E, é nesta discussão, que a criança vai percebendo que medir não é somente ler um número em algum instrumento, mas que é preciso criar os elementos de contagem para dar origem a este número. Percebem que medir é atribuir um número a “coisas que se contam sem deixar buracos”, pois as mãos que contam devem alternar-se uma adjacente a outra, e que o objeto que conta deve ser repetido sempre idêntico a si mesmo, pois o passo que conta deve ser sempre igual. Realiza, dessa forma, sobre o conceito de senso comum que trazia, antes das atividades, novas elaborações. Embora, essas ainda não tenham o status de conceito científico, pode-se dizer que apresentam um “crescimento”, em relação ao conceito inicial, na direção do conceito científico.
O terceiro elemento de nosso eixo, a afetividade está na elaboração intersubjetiva dos significados do conceito. A dinâmica indivíduo-coletivo mobiliza o sujeito, da reflexão individual à discussão coletiva, intersubjetiva de significados dos conceitos. Neste movimento, está a possibilidade de instaurar-se, tanto em nível individual quanto coletivo a tensão criativa. Espaço de sensações e percepções que toma forma nas dúvidas e hesitações sobre as elaborações conceituais, expressas em linguagem corporal e afetiva. Estamos definindo a afetividade como o movimento de atribuir linguagem aos sentimentos que afloram neste espaço criativo do conceito. Em Brito ( 2002) e Ferreira (2005), evidencia-se este espaço quando os sujeitos discutem que forma atribuir à base de contagem de um sistema que deve abranger grandes quantidades. Para chegar a um resultado o grupo discute, refaz, elimina hipóteses elaboradas no momento individual. O centro deste acordo simbólico passa a ser a argumentação e não juízos de valor sobre o que foi produzido.
O que se tem percebido é uma tendência a valorizar, em qualquer que seja o aspecto, a produção individual dos colegas. As expressões que surgem no grupo de trabalho como: “pensei muito e só consegui chegar nisto” (mostrando o sistema que criou); “foi difícil chegar a este sistema e agora vejo que não tem nada a ver”; “Será que juntando a idéia deste sistema com a daquele (apontando para os sistemas de duas colegas) a gente não chega a um mais completo?”; “tá difícil criar um do grupo (a aluna fala depois de uma longa discussão), mas se tirarmos sugestões dos sistemas que cada um fez, vamos conseguir um mais completo o que vocês acham?”; são indícios do momento coletivo de elaboração do conceito de um sistema de contagem.
O respeito pelo que o colega produz, a argumentação pela melhor produção, o solicitar a opinião do outro, o reconhecimento dos limites da própria produção e outros são os elementos afetivos presentes na negociação dialógica de significados e criação de linguagem numérica.
A elaboração coletiva deve ter sustentação na individual e não suplantá-la. O indivíduo desenvolve sua singularidade somente no movimento de significação coletiva de sua produção individual e vice-versa, o coletivo só se constitui como tal se potencializador das individualidades que o compõem.
É por isto que dizemos, anteriormente, que o professor que não dá espaço, em suas aulas de matemática, a uma dinâmica indivíduo-coletivo, não dá lugar ao movimento afetivo da criação de linguagens, tornando suas aulas uma conversa de máquina sobre os conceitos, tão fria, objetiva e igual para todos quanto as gravações das secretárias eletrônicas. Não há lugar para a produção individual do conteúdo do conceito. Os conceitos assim aprendidos, não necessitam de salas de aula para serem ensinados. Na sala de aula, está colocada a exigência social do movimento de criação do conceito, da produção de significados intersubjetivos. A aprendizagem será completa se a abordagem permitir um desenvolvimento combinado pensamento-linguagem-afetividade porque este é o movimento humano de criação dos conceitos científicos.

Concluindo
As pesquisas que fizemos sugerem que é preciso muito mais do que informar, repetir e aplicar os conceitos em exercícios para dar vida e subjetividade à aprendizagem de matemática, é preciso destituir-se do formalismo, do rigor da linguagem, da rigidez das regras e deixar que as crianças se sintam desafiadas a terem as suas elaborações. O cuidado com a relação forma e conteúdo do conceito requer que a elaboração da linguagem esteja intimamente relacionada ao significado do conteúdo. Os conteúdos do conceito, o encontram na sua história, mas o aluno para aprendê-lo deve dar a este, significados que lhe façam, caso contrário, não o compreende, apenas o memoriza e o repete de forma fragmentada de seu pensamento.
Conhecer o conceito somente sob o aspecto formal de sua linguagem não é garantia de que o tenhamos em nossas subjetividades, como movimento do pensamento, linguagem e afetividade para nos entender e entender o mundo em que vivemos. Sem este movimento não nos apropriamos do método pelo qual foi constituído: a medida que o ser humano constrói pensamento sobre a realidade, desenvolve a si mesmo enquanto resolvedor da vida.

Referências Bibliográficas

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